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14. Modelli matematiciOBIETTIVO:
acquisire una conoscenza di base del classico modello deterministico di Reed e Frost e verificarne l'efficienza attraverso lo studio di una serie di esempi
L'aspetto di una 
curva epidemica in una epidemia a propagazione - all'interno di una data popolazione - può essere definito su base matematica, attraverso l'impiego di modelli. Uno dei modelli di base più famosi è quello di Reed e Frost. Si tratta di un modello deterministico che oggi assume un'importanza soltanto storica, via via che vengono messi a punto modelli più sofisticati, ma ha il pregio di essere facilmente comprensibile e quindi è molto utile a scopo didattico per la comprensione della intima "essenza" di un modello.
Il modello di Reed e Frost è stato soggetto ad ampiamenti, affinamenti e modifiche.
Nella sua forma originaria più semplice, che viene proposta qui a scopo didattico, prevede una suddivisione della popolazione in 3 gruppi, comprendenti animali (1) infetti, (2) recettivi e (3) immuni. Inoltre, è previsto che ogni animale infettato si ammali (cioè diventi un «caso») e poi guarisca e diventi immune (cioè resistente a una 
reinfezione). Perciò questo modello rientra fra i modelli detti "SIR" (Susceptible, Infected, Resistant).
Inoltre, il modello assume che: la malattia si trasmette con un'unica modalità; il periodo di incubazione è fisso; tutti gli animali si distribuiscono a caso nella popolazione e quindi sono soggetti alla stessa probabilità di venire a contatto con animali ammalati; la popolazione è chiusa (non c'è ingresso di animali dall'esterno); le condizioni rimangono costanti per tutta la durata dell'osservazione.
Secondo il modello, l'andamento della curva epidemica e l'immunità di popolazione dipendono (a) dal numero complessivo di individui che costituiscono la popolazione, (b) dal loro stato (contagianti, recettivi e immuni) e (c) dalla capacità della malattia di trasmettersi da un individuo all'altro.
Supponendo breve il periodo di contagiosità degli animali infetti, e supponendo costante il periodo di incubazione, allora, partendo con un caso singolo (o con più casi con infezione contemporanea), i nuovi casi si svilupperanno in una serie di stadi.
Il modello viene costruito utilizzando la seguente formula:
La durata dell'unità di tempo t viene di solito fatta coincidere con il periodo di incubazione o di latenza.
Il valore q corrisponde a (1-p) dove p=probabilità, per un dato individuo, di avere un contatto efficiente con un altro individuo, in modo che si verifichi infezione se l'uno era recettivo e l'altro infettante. Il valore di p esprime una probabilità; esso è quindi compreso fra 0 e 1. poiché p è la probabilità di contrarre infezione, q (ossia (1-p)) è la probabilità di non contrarre infezione.
Naturalmente il valore di p dipende da una varietà di fattori e non è facile da determinare. Di solito p viene stimato empiricamente mediante osservazione di epidemie reali.
Supponiamo che inizialmente (tempo 0) la nostra popolazione sia costituita da 199 animali recettivi, 1 caso e 0 immuni. Pertanto
St0=199
Ct0=1
Supponiamo che la probabilità di avere un contatto efficiente sia pari a 0.06. Quindi
p=0.06
q=1-0.06=0.94
Al tempo t+1:
Ct1= 199(1-0.941)=12
e
St1=199-12=187
Al tempo t+2
Ct2=187(1-0.9412)=98
e
St2=187-98=89
e così via.
Il numero di animali immuni a ciascun tempo è il totale cumulativo degli animali infetti durante il periodo precedente. Quindi al tempo t+1 il numero di animali immuni è:
It1=1
al tempo t+2
It2=12+1=13
e così via.
Nella figura sottostante sono riportati i dati ottenuti dal modello di Reed e Frost con i parametri in esempio, per l'intera durata dell'epidemia.
Dall'esame del modello si evince che la probabilità che si verifichi un'epidemia e l'aspetto della curva epidemica sono funzioni del contatto efficiente e del numero di animali recettivi.
La proporzione di una popolazione che risulta recettiva viene usata spesso come guida generale della probabilità di diffusione di un'infezione. Si ritiene che - in genere e con larga approssimazione - almeno il 20-30% della popolazione debba essere recettiva perché abbia luogo una epidemia. Ne consegue che l'infezione non diffonderà se il 70-80% della popolazione è immune.
Questo è utile a prevenire epidemie di grandi dimensioni, tuttavia, è da notare che l'infezione potrà diffondere ugualmente, anche in presenza di una elevata immunità di popolazione, se il numero di animali recettivi è tale che
(p * St) > 1
Negli esempi che seguono sono riportate alcune curve epidemiche simulate su popolazioni numericamente diverse e utilizzando parametri diversi per il rapporto immuni/recettivi e per la probabilità di contatto efficiente.
ESEMPIO 1. C=1 S=999 I=500 p=0.005
ESEMPIO 2. C=200 S=800 I=0 p=0.005
ESEMPIO 3. C=1 S=99999 I=0 p=0.001
ESEMPIO 4. C=50 S=190 I=760 p=0.004
ESEMPIO 5. C=500 S=1000 I=4500 p=0.06
Foglio di calcolo per Microsoft Excel® che fornisce una rappresentazione grafica di un modello di Reed e Frost, con parametri che possono essere variati a piacere.
AFTER HOURS: Modelli: sul serio o per gioco?
NELLA PROSSIMA UNITÀ:
si prende in considerazione un modello stocastico più recente, che permette di prevedere l'andamento di una infezione in una popolazione bovina; in base all'output del modello è possibile prevedere l'efficacia di alcune misure di controllo.
