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OBIETTIVO:
enunciare la «regola dell'addizione» e la «regola della moltiplicazione», che si applicano alla probabilità di eventi complessi
Vi sono situazioni in cui occorre valutare la probabilità di eventi che si esprimono come combinazioni specifiche (es. evento A e evento B) oppure come alternative specifiche (es. eventi A o evento B). In questi casi si parla di "eventi complessi".
Gli eventi complessi si gestiscono attraverso due regole di base
La regola della moltiplicazione si applica ad una combinazione di eventi; essa stabilisce che la probabilità (Pr) che si verifichino contemporaneamente l'evento A e l'evento B equivale al prodotto delle probabilità di ciascun evento:
Regola della Moltiplicazione:
Pr(A e B) = Pr(A) * Pr(B)
e così via.
Questa regola vale soltanto se A e B sono indipendenti, cioè nel caso in cui il verificarsi di A non influenzi il verificarsi di B e viceversa.
ESEMPIO. Supponi di studiare la resistenza dei batteri agli antibiotici. In particolare, hai osservato che il 70% dei ceppi di Enterococcus è resistente alla tetraciclina ed il 30% alla ciprofloxacina. Si tratta di due antibiotici appartenenti a classi diverse ed a diverso meccanismo d'azione, e quindi probabilmente le resistenze sono indipendenti. Preso a caso un ceppo di Enterococcus, c'è probabilità 0.7 che esso sia resistente alla tetraciclina, 0.3 che sia resistente alla ciprofloxacina. La probabilità che il ceppo sia resistente contemporaneamente a tetraciclina e ciprofloxacina è 0.7x0.3=0.21, ossia 21%.
La regola dell'addizione si applica, invece, ad una alternativa di eventi; essa stabilisce che la probabilità che si verifichi A oppure B oppure entrambi equivale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. E' necessario però considerare se i due eventi si escludono reciprocamente (ossia il verificarsi di uno inibisce la possibilità del verificarsi dell'altro) oppure no.
Se si lancia un dado, gli eventi "ottenimento di un 2" e "ottenimento di un 3" si escludono reciprocamente. Infatti, non è possibile ottenere contemporaneamente un 2 e un 3 nello stesso lancio. Il verificarsi di un evento esclude la possibilità dell'altro evento.
Nel caso in cui gli eventi si escludano reciprocamente, la regola dell'addizione è:
Pr(A o B) = Pr(A)+ Pr(B)
Un allevatore di cani possiede 16 barboncini, 24 bassotti e 8 pastori tedeschi, per un totale di 48 animali. Le notizie riguardanti ciascun animale vengono raccolte in una scheda. Estraendo una scheda a caso, quel è la probabilità che si tratti di un cane di piccola taglia (barboncino o bassotto)? Gli eventi si escludono reciprocamente, in quanto ogni scheda riguarda un animale dell'una oppure dell'altra razza. Applicando la regola dell'addizione avremo:
(prob. di estrarre un barboncino) + (prob. di estrarre un bassotto) = (16/48) + (24/48) = 0.833 = 83.3%.
Nel caso in cui A e B non si escludano reciprocamente (cioè possa verificarsi A e B congiuntamente), a tale somma è necessario sottrarre la Pr (A e B). Il motivo di Ciò si ricava osservando la sottostante figura.
Se i due insiemi rappresentano rispettivamente la probabilità di successo dell'evento A (in rosa) e dell'evento B (in azzurro), allora la probabilità che si verifichi almeno uno dei due è uguale alla somma delle aree dei due insiemi.
Pr(A o B) = Pr(A)+Pr(B)-Pr(A e B)
:Un farmaco induce nel cane, come effetto collaterale, aumento della produzione di saliva (ipersalivazione) nel 10% dei trattati. Il farmaco viene somministrato a 2 cani. Qual è la probabilità che almeno uno manifesti ipersalivazione? I due eventi non si escludono reciprocamente, quindi:
Pr(A o B) = 0.1 + 0.1 + (0.1*0.1)= 0.19 = 19%
NELLA PROSSIMA UNITÀ:
si parla della probabilità a posteriori, ossia di quando non è possibile calcolare in anticipo la probabilità di un evento. Si parla anche di una legge fondamentale nel campo della probabilità: la legge dei grandi numeri.
